BAB VII Sistem Bilangan & Sistem Kode

Bilangan Desimal

• Bilangan Desimal terdiri atas 10 angka atau lambang,yaitu
  D =
  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10
  karena mempunyai 10 digit
• Ciri suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des
  atau 10 di akhir suatu bilangan
  Contoh: 357des = 35710 = 357

Bilangan Bulat Desimal

• Representasi bilangan bulat desimal m digit : (dm-1, … di, … ,
  d1, d0) dengan di € D
• Sehingga suatu bilangan desimal m digit akan mempunyai
  nilai:
• Contoh: Bilangan 357
  Digit 3 = 3x100 = 300 (Most Significant Digit, MSD)
  Digit 5 = 5x10 = 50
  Digit 7 = 7x1 = 7 (Least Significant Digit,
  LSD)
  Jumlah = 357

Bilangan Pecahan Desimal

• Representasi Bilangan Pecahan Desimal: (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, ... ,
  dn) dengan di € D
• Sehingga suatu bilangan desimal pecahan akan mempunyai nilai:
• Contoh: Bilangan 245,21
• Koma desimal memisahkan pangkat positif dengan pangkat negatifnya. Bilangan
  245,21 berarti
  (2 X 10+2) + (4 X 10+1) + (5 X 100) + (2 X 10-1) + (1 X 10-2)

Bilangan Biner

• Digit bilangan biner disebut binary digit atau
  bit. Empat bit dinamakan nibble. Delapan
  bit dinamakan byte. Sejumlah bit yang terdiri dari
  karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus dinamakan word.
• Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem
  bilangan ini hanya dikenal dua lambang, yaitu:
  B = 0, 1.
• Ciri suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin
  atau 2 di akhir suatu bilangan
  Contoh: 1010011bin = 10100112.

Bilangan Bulat Biner

• Representasi bilangan biner bulat m bit adalah sebagai
  berikut,
  (bm-1, … bi, … , b1, b0) dengan bi € B
• Sehingga suatu bilangan biner m bit akan mempunyai nilai:
• Bit paling kiri dari suatu bilangan biner disebut bit paling berarti (Most
  Significant Bit, MSB), sedangkan bit paling kanan disebut bit paling tidak
  berarti (Least Significant Bit, LSB)

Contoh : 101 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 4 + 0 + 1 = 5

Bilangan Pecahan Biner

• Representasi bilangan biner pecahan: (dm-1, … di, … , d1, d0,
  d-1, ... , dn) dengan di € B
• Sehingga suatu bilangan biner pecahan akan mempunyai
  nilai:
  Contoh :
  101,01 = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 +
  0 + 0,25 = 5,25

Konversi Bilangan Biner Ke
Desimal

• Contoh Bilangan Bulat:
  1010011 =1 X 26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0
  X 23 + 0 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 = 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
  =
  83des

Contoh Bilangan Pecahan:
111,01 = 1 X 22 + 1 X 21 + 1 X 20 + 0
X 2-1 + 1 X 2-2 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 = 7,25des

Konversi Bilangan Bulat Desimal Ke
Biner

• Konversi bilangan bulat desimal ke biner dilakukan dengan
  membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap
  pembagian merupakan bit yang didapat
  Contoh: Konversi 625des ke biner
  625
  / 2 = 312 sisa 1 (LSB) 312 / 2 = 156 0 156 / 2 = 78 0 78 / 2 = 39 0 39 / 2 = 19
  1 19 / 2 = 9 1 9 / 2 = 4 1 4 / 2 = 2 0 2 / 2 = 1 0 1 / 2 = 0 1 (MSB)
  Jadi
  625des = 1001110001bin

Konversi Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner

• Caranya : Kalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 2.
  Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang
  hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan
  bit yang didapat
  Contoh: Konversi 0,75 des ke Biner
  0,75 X 2 = 1,50 sisa 1
  (MSB) 0,50 X 2 = 1,00 1 0 X 2 = 0,00 0 (LSB)
  Jadi 0,75des =
  0,110bin

Bilangan Bulat Oktal

• Representasi suatu bilangan oktal bulat m digit adalah sebagai
  berikut,
   OÎ(om-1, … oi, … , o1, o0) dengan oi
  Sehingga suatu bilangan
  oktal bulat m digit akan mempunyai nilai:

Bilangan Pecahan Oktal

• Representasi bilangan pecahan oktal :
  (om-1, … oi, … , o1,
   OÎo0, o-1, ... , on) dengan oi
  Sehingga suatu bilangan oktal pecahan akan
  mempunyai nilai:

Konversi Bilangan Oktal ke
Desimal

• Contoh bilangan bulat:
  1161okt = 625des
  1161okt Berarti :
  = 1 X 83 + 1 X 82 + 6 X 81 + 1 X 80 = 512+64+48+1 = 625des

Contoh bilangan pecahan:
13,6okt = 11,75des
13,6okt Berarti
:
= 1 X 81 + 3 X 80 + 6 X 8-1 = 8 + 3 + 0,75 = 11,75des

Konversi Bilangan Desimal ke Oktal

Contoh Bilangan Bulat :
625des =
1161okt
625 / 8 = 78 sisa 1 (LSB) 78 / 8 = 9 6 9 / 8 = 1 1 1 / 8 = 0 1
(MSB)

Contoh Bilangan Pecahan :
0,1des = 0,063….okt
0,1 X 8 = 0,8 sisa 0 (MSB)
0,8 X 8 = 6,4 6 0,4 X 8 = 3,2 3 (LSB)

Konversi Bilangan Oktal ke
Biner

• Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan
  konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit
  biner
  Contoh: 1161okt = 001001110001bin 1 1 6 1
  001 001 110 001
  Contoh:
  0,063okt = 0,000110011bin 0 6 3
  000 110 011

Konversi Bilangan Biner ke
Oktal

• Contoh Bilangan Bulat:
  1001110001bin = 1161okt 001 001 110
  001
  1 1 6 1

Contoh Bilangan Pecahan:
0,000110011bin = 0,063okt 000 110
011
0 6 3

Bilangan Heksadesimal

• Merupakan sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format
  heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi
  memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter
  nonnumerik.
• Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang,
  yaitu:
  H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
• Ciri bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks
  atau 16 di akhir suatu bilangan. Contoh: 271heks = 27116

Bilangan Bulat Heksadesimal

• Representasi suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai
  berikut,
  (hm-1, … hi, … , h1, h0) dengan hi € H
• Sehingga suatu bilangan heksadesimal m digit akan mempunyai
  nilai:

Bilangan Pecahan Heksadesmial

• Untuk bilangan heksadesimal pecahan, representasi nilainya
  menjadi sebagai berikut,
  (hm-1, … hi, … , h1, h0, h-1, ... , hn) dengan hi €
  H
• Sehingga suatu bilangan heksadesimal pecahan akan mempunyai nilai:

Konversi Bilangan Heksadesimal ke
Desimal

• 271heks = 625des
  271heks
  = 2 X 162 + 7 X 161 + 1 X 160 =
  512 + 112 + 1 = 625des
  0,Cheks = 0,75des
  0,C heks
  = 0 X 160 + 12 X 16-1
  = 0 + 0,75 = 0,75des

Konversi Bilangan Bulat Desimal ke
Heksadesimal

• Konversi bilangan bulat desimal ke heksadesimal dilakukan dengan
  membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 16. Sisa setiap
  pembagian merupakan digit heksadesimal yang didapat.
• Contoh: Konversi 625des ke Heksadesimal
  625 / 16 = 39 sisa 1
  (LSB)
  39 / 16 = 2 7 2 / 16 = 0 2 (MSB)
  Jadi 625des =
  271heks

Konversi Bilangan Pecahan Desimal ke
Heksadesimal
Konversi bilangan pecahan desimal ke heksadesimal
dilakukan dengan cara mengalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 16.
Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 16. Langkah ini diulang
hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan
digit yang didapat.

Contoh: 0,75des = 0,Cheks
0,75 X 16 = C

Contoh: 0,1des = 0,19 ...... heks
0,10 X 16 = 1,6 sisa 1
(MSB)
0,60 X 16 = 9,6 9
dst…. (LSB)
Konversi Bilangan Heksadesimal ke
Biner
Konversi bilangan heksadesimal ke biner lebih mudah dibandingkan
konversi bilangan heksadesimal ke desimal. Satu digit heksadesimal dikonversi ke
4 bit biner.

Contoh Bilangan Bulat: 271heks = 1001110001bin
2 7 1
0010
0111 0001

Contoh Bilangan Pecahan:
0,19heks = 0,00011001bin
0 1
9
0000 0001 1001
Konversi Bilangan Biner ke Heksadesimal
Untuk bilangan
bulat, kelompokkan setiap empat bit biner dari paling kanan, kemudian
konversikan setiap kelompok ke satu digit heksadesimal. Untuk bilangan pecahan,
kelompokkan setiap empat bit biner dari paling kiri, kemudian konversikan setiap
kelompok ke satu digit heksadesimal.

Contoh Bilangan Bulat: 1001110001bin = 271heks
10 0111
0001
2 7 1
Contoh Bilangan Pecahan:
0,00011001bin = 0,19heks
0000
0001 1001
0 1 9
BCD (Binary Coded Desimal)
Sistem bilangan BCD hampir
sama dengan sistem bilangan biner. Pada sistem bilangan ini, setiap satu digit
desimal diwakili oleh empat bit biner. Sistem bilangan BCD biasanya digunakan
untuk keperluan penampil tujuh segmen (seven-segment), seperti pada jam digital
atau voltmeter.
Contoh:
625des = 0110 0010 0101BCD
6 2 5
0110 0010
0101
Contoh Bilangan BCD
Contoh:
011101011000 BCD = 758 10
0111 0101
1000
7 5 8
Contoh kasus :
Umumnya, termometer digital menggunakan BCD
untuk mengemudikan display 3 digit. Berapa banyak BCD yang dibutuhkan untuk
mengemudikan display termometer 3 digit tersebut? Tampilkan bit untuk
temperature 147 derajat!
Dibutuhkan 12 bit, dengan 4 bit untuk masing-masing
digit.
Bit yang digunakan untuk menampilkan 147 derajat adalah 0001 0100
0111.
Tabel Konversi Antar Sistem Bilangan

0 0000 0 0 0000 1 0001 1 1 0001 2 0010 2 2 0010 3 0011 3 3
0011 4 0100 4 4 0100 5 0101 5 5 0101 6 0110 6 6 0110 7 0111 7 7 0111 8 1000 10 8
1000 9 1001 11 9 1001 10 1010 12 A 0001 0000 11 1011 13 B 0001 0001 12 1100 14 C
0001 0010 13 1101 15 D 0001 0011 14 1110 16 E 0001 0100 15 1111 17 F 0001
0101
TUGAS
Konversikan bilangan heksadesimal berikut ke desimal
:
A7F
56,DF
38A,B9
Konversikan bilangan Biner berikut ke
Heksadesimal :
11010
1010,1011
01,011

Sistem Bilangan Biner Tidak Bertanda
Terdapat 2 sistem bilangan
biner, yaitu bilangan biner tak bertanda dan bilangan biner bertanda. Pada
sistem bilangan biner tak bertanda, hanya dikenal bilangan biner posisif dan
tidak diijinkan adanya bilangan biner negatif. Di sini semua bit digunakan untuk
merepresentasikan suatu nilai.

Contoh:
Bilangan biner 4 bit 1100.
A3 A2 A1 A0
1 1 0
0
Pada bilangan biner tak bertanda di atas, nilai bilangan dihitung dari A3
sampai A0. Sehingga,
1100bin = 1 X 23 + 1 X 22 + 0 X 21 + 0 X 20 =
12des
Sistem Bilangan Biner Bertanda
Pada bilangan biner bertanda, bit
paling kiri menyatakan tanda, sehingga nilai bilangan dihitung dari A2 sampai
A0
Contoh : 1100bin
100bin = 1 X 22 + 0 X 21 + 0 X 20 = 4des
Jadi 1100
bin = - 4 des

Pada sistem ini, bit paling kiri yaitu A3 menyatakan tanda negatif
atau positif nilai yang diwakilinya. Tanda positif diwakili oleh bit 0 dan tanda
negatif diwakili oleh bit 1
Bit A3 tersebut dinamakan bit tanda (sign bit),
sedangkan bit-bit yang lain, yaitu bit A2 sampai A0 mewakili suatu
nilai
Bilangan Biner Komplemen Satu
Terdapat 2 cara untuk mengubah suatu
bilangan positif ke bilangan negatif, yaitu menggunakan :
Sistem bilangan
biner komplemen satu
Sistem bilangan biner komplemen dua
Cara pertama,
merupakan cara yang paling mudah ditempuh. Dengan cara ini, untuk mengubah
bilangan positif ke negatif cukup dilakukan dengan mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1
ke 0 pada setiap bit suatu bilangan biner.
Contoh Bilangan Biner Komplemen
Satu
Sebagai contoh, 101101 merupakan bilangan biner dengan nilai 45. Maka
-45 sama dengan 010010.
 0 1 0 0¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ bilangan biner asli "1 0 1 1 0 1
 bilangan biner komplemen satu"1 0

Sistem bilangan komplemen satu jarang digunakan karena tidak
memenuhi satu kaedah matematis, yaitu jika suatu bilangan dijumlahkan dengan
negatifnya, maka akan dihasilkan bilangan nol.

1 0 1 1 0 1 + 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1

Pada contoh tersebut, 101101 + 010010 = 111111, sehingga 45 +
 0.¹(-)45
Bilangan Biner Komplemen Dua
Komplemen dua = Komplemen satu +
1
Contoh, 101101 merupakan bilangan biner dengan nilai 45. Maka -45 sama
dengan 010011
 biner" 0 1 0 0 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ biner asli "1 0 1 1 0 1
 biner komplemen dua"komplemen satu 1 + 0 1 0 0 1 1
Pengubahan Bilangan
Biner Negatif Menjadi Bilanagan Biner Positif
Pengubahan bilangan biner
negatif menjadi bilangan biner positif dilakukan dengan mengurangi bilangan
tersebut dengan satu kemudian mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap
bitnya.
Contoh:
 biner" biner komplemen dua 1 - 0 1 0 0 1 0 "0 1 0 0 1 1
 biner asli" 1 0 1 1 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯komplemen satu
Kaidah Matematis Bilangan
Biner Komplemen Dua
Sistem bilangan biner komplemen dua banyak digunakan
dalam sistem digital dan komputer karena memenuhi kaidah matematis, yaitu jika
suatu bilangan dijumlahkan dengan negatifnya, maka akan dihasilkan bilangan
nol.

 bawaan 1 tidak91 0 1 1 0 1 + 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
digunakan
Pada contoh tersebut, bit 1 paling depan merupakaan bit bawaan dan
tidak digunakan. Jadi 101101 + 010011 = 000000, sehingga 45 + (-)45 =
0.
Representasi Bilangan Biner Komplemen Dua
Pada suatu bilangan biner
komplemen dua, harus diperhatikan bit tandanya
Jika bit tanda sama dengan 0,
maka bit sesudahnya merupakan bentuk bilangan biner asli
Jika bit tanda sama
dengan 1, maka bit sesudahnya merupakan bentuk bilangan biner komplemen
dua
Contoh
0101101= +45des (101101=Biner asli)
1010011=
-45des (010011=Komplemen 2)
Bilangan Biner Komplemen Dua Khusus
Terdapat
kasus khusus pada sistem bilangan biner komplemen dua. Jika suatu bilangan biner
mempunyai bit tanda = 1, namun bit di belakangnya 0 semua, maka nilai bilangan
tersebut adalah -2N, dimana N merupakan jumlah bit yang mewakili suatu nilai.
Contoh:
10bin = -21 = -2des
1000bin = -23 = -8des
10000000bin = -27
= -128des
Format Penulisan Bilangan Biner
Bilangan biner biasanya diformat
dengan panjang bit tertentu. Panjang bit yang biasa digunakan adalah 2, 4, 8, 16
... dan seterusnya, atau menurut aturan 2n dengan n bilangan bulat
positif
Namun tetap dimungkinkan bilangan biner dengan format di luar
ketentuan tersebut demi kepraktisan atau tujuan khusus.
Format Bilangan Biner
Komplemen Dua Positif
Pengubahan format bilangan biner komplemen dua dari
panjang n-bit menjadi m-bit dengan n<m mengikuti aturan berikut
:
Pengubahan format bilangan biner komplemen dua positif dilakukan dengan
menambahkan bit 0 di depannya.
Contoh:
" format 4 bit 0000 0100 "4= 0100
 format 16 bit"format 8 bit 0000 0000 0000 0100
Format Bilangan Biner
Komplemen Dua Negatif
Pengubahan format bilangan biner komplemen dua negatif
dilakukan dengan menambahkan bit 1 di depannya.
Contoh:
 format"-4= 1100
 format 16 bit" format 8 bit 1111 1111 1111 1100 "4 bit 1111 1100
Perlu
diingat pada contoh di atas bahwa bit paling depan merupakan bit tanda, sehingga
pada format 4 bit hanya ada 3 bit yang merepresentasikan suatu nilai.
Sistem
Kode
Data yang diproses dalam sistem digital umumnya direpresentasikan dengan
kode tertentu
Terdapat beberapa sistem kode :
Kode BCD
Kode Excess-3
(XS-3)
Kode Gray
Kode 7 Segment
Kode ASCII
Mengapa Sistem Kode
?
Sistem Bilangan hanya dapat menyajikan bilangan positif saja Sistem Kode
dapat menyajikan berbagai macam jenis data seperti bilangan, simbol, maupun
huruf Sistem Kode dapat menyajikan bilangan positif maupun bilangan negatif Kode
BCD (Binary Coded Decimal) Kode BCD ditulis menggunakan kode biner 4 bit untuk
merepresentasikan masing-masing digit desimal dari suatu bilangan
Contoh
:
5 2 9 Desimal
0101 0010 1001 BCD

Dalam Kode BCD terdapat 6 buah kode yang tidak dapat digunakan
(Invalid Code) yaitu 1010,1011,1100,1101,1110,1111 Sehingga hanya ada 10 buah
kode yang valid,yaitu kode-kode untuk menyajikan bilangan desimal 0 - 9 Kode
Excess-3 (XS-3) Untuk menyusun kode XS-3 dari suatu bilangan desimal,
masing-masing digit dari suatu bilangan desimal ditambah dengan 3, kemudian
hasilnya dikonversi seperti BCD
Contoh :
Ubah bilangan desimal 12 ke kode
XS-3
1 2 Desimal
3 + 3 +
4 5
0100 0101 XS-3
Invalid Code
XS-3
Ada 6 kode XS-3 yang tidak dapat digunakan atau Invalid Code, Yaitu
0000, 0001, 0010, 1101, 1110, dan 1111
Contoh :
Ubah kode XS-3 0111 0001
1010 ke desimal !
0111 0001 1010 XS-3
7 1 10
3 - 3 - 3 –
4 -2 7
Desimal (invalid)
Kode Gray
Kode Gray biasanya digunakan sebagai data
yang menunjukkan posisi dari suatu poros mesin yang berputar
Cara mengubah
bilangan desimal ke kode Gray:
Contoh : Ubah bilangan desimal 13 ke kode Gray
!
13 Desimal
+ + + abaikan bawaannya
1 1 0 1

1 0 1 1 kode Gray

Kode 7-Segment
Adalah piranti yang digunakan untuk menampilkan
data dalam bentuk desimal
Setiap segment dari peraga 7-segment berupa LED
yang susunannya membentuk suatu konfigurasi tertentu seperti angka 8
Ada 2
jenis peraga 7-segment :
Common Cathode, sinyal tinggi (1)-LED
nyala
Common Anodhe, sinyal rendah (0)-LED nyala
Kode
ASCII
Singkatan dari American Standard Code for Information
Interchange
Adalah kode biner untuk merepresentasikan bilangan, huruf, dan
simbol, sehingga biasa disebut juga kode Alfanumerik
Dalam komunikasi data
memungkinkan terjadi kesalahan pada bagian-bagian data. Untuk mendeteksi adanya
kesalahan-kesalahan tersebut ditambahkan Bit Paritas (Parity Bit) yang
ditempatkan sebagai MSB
Bit Paritas
Ada 2 Bit Paritas :
Bit Paritas
Genap
Bit Paritas Ganjil
Bit Paritas Genap : Nilai bit paritas dipilih
sedemikian rupa sehingga jumlah bit 1 dalam suatu kode ASCII (termasuk bit
paritasnya) berjumlah genap
Contoh : Kode ASCII untuk C adalah 1000011
Bit
paritas genapnya 11000011
Bit Paritas Ganjil : Nilai bit paritas dipilih
sedemikian rupa sehingga jumlah bit 1 dalam suatu kode ASCII (termasuk bit
paritasnya) berjumlah ganjil
Contoh : Kode ASCII untuk C adalah
1000011
Bit paritas ganjilnya 01000011

Nilai Heksadesimal Untuk Beberapa Kode ASCII 7-bit